Institut des Sciences de la Terre

Annuaire

Rechercher

Accueil du site > Recherche > Équipes > Géodynamo > Thèmes de recherche > Ondes d’Alfvén

Ondes d’Alfvén

Par Cardin Philippe -
Décembre 2011
( mise à jour le : 7 mars 2013 )

Alfvén a décrit pour le première fois en 1942 [1] des ondes MHD qui se propagent le long des lignes de champ magnétique. Cet article de vulgarisation présente comment fonctionnent ces ondes et quelques résultats acquis dans l’équipe Géodynamo [2] [3].

Équations des ondes d’Alfvén

Considérons un fluide conducteur d’électricité baignant dans un champ magnétique $B_0$ . Soit $\nu$ sa viscosité cinématique et $\eta$ sa diffusivité magnétique ( $\eta = 1/\mu_0\sigma$ ou $\sigma$ est la conductivité électrique). Considérons une perturbation de vitesse $u$ et de champ magnétique $b$ transverse à la ligne de champ magnétique imposée $B_0$ . L’évolution temporelle des ces deux perturbations est donnée par les équations de Navier et Stokes et par l’équation d’induction :

$\partial_t u = \frac{B_0}{\mu_0\rho} \partial_x b + \nu \partial_{xx}u$

$\partial_t b = B_0 \partial_x v + \eta \partial_{xx}b$

En négligeant la viscosité et la diffusivité magnétique et en éliminant le champ de vitesse $u$ de ces deux équations, on peut trouver une équation d’onde pour la perturbation magnétique $b$

$\partial_{tt} b = \frac{B_0^2}{\mu_0\rho} \partial_{xx} b$

où $V_a = B_0/\sqrt{\mu_0\rho}$ est la vitesse d’Alfvén. Cette équation montre que la perturbation magnétique va se propager comme une onde selon l’axe Ox dans les deux directions à la vitesse d’Alfvén. La figure 1 montre schématiquement cette propagation. Cette propagation est comparable à une vibration se propageant sur une corde, la "tension magnétique" servant comme une force de rappel comme l’élasticité dans le cas de la corde

figure 1 : Propagation des ondes d’Alfvén, une pertubation magnétique se propage sur la ligne de champ. Chaque ligne représente un temps différent de la propagation.

Évidences expérimentales d’ondes d’Alfvén

Pour observer les ondes d’Alfvén, il faut qu’elles puissent se propager avant qu’elles ne soient dissipées par les effets diffusifs. Dans les métaux liquides (mais aussi dans les plasmas), la diffusivité magnétique est bien supérieure à la viscosité cinématique. Le nombre de Prandtl magnétique mesure le rapport entre les deux diffusivités.

$Pm = \frac{\nu}{\eta}$

Il est de l’ordre de $10^{-5}$ pour les métaux liquides. Les ondes d’Alfvén vont donc être dissipés par la diffusion des courants électriques ( et donc par effet Joule).

On peut donc essayer de mesurer le temps de propagation d’un paquet d’ondes sur une distance $L$ , soit $\tau_p = L/V_a$ , par rapport au temps de diffusion magnétique $\tau_d = \lambda^2/\eta$ où $\lambda$ est la longueur d’onde typique. Cela nous permet d’introduire le nombre sans dimensions de Lunquist $Lu$

$Lu = \frac{\tau_v}{\tau_p} =\sigma B_0 \sqrt{\frac{\mu_0}{\rho}}\frac{\lambda^2}{L}$

Pour observer les ondes d’Alfvén dans un métal liquide, il faut donc avoir un nombre de Lundquist très grand. Pour cela il faut un fluide très conducteur d’électricité dans un champ magnétique très fort.

C’est ce que nous avons réaliser au LCMI (à Grenoble) où des installations permettent d’obtenir des champs magnétiques de 13 Teslas. Nous avons choisi de faire des expériences avec du Gallinstan (alliage de Gallium, Indium et étain) qui est liquide à température ambiante. Nous avons aussi fait des expériences en sodium liquide (en cours d’analyse). Pour le Gallinstan et un champ magnétique de 13T, on trouve une vitesse des ondes d’Alfvén de 150 m/s. Considérons une boite cylindrique de 11 cm de diamètre et de 10 cm de hauteur L (taille fixée par le trou de l’électro-aimant) et considérons des longueurs d’ondes caractéristique de taille L. On évalue le nombre de Lundquist à 10. Ce qui parait suffisant pour observer les ondes. La boite est placée dans un électro-aimant dont l’orientation du champ magnétique est parallèle avec l’axe du cylindre.

figure 2 : Schéma et photo du montage expérimental.

On dispose une bobine électromagnétique excitatrice sous la boite. Une impulsion de courant dans cette bobine va créer un tore de champ magnétique qui comprend une composante perpendiculaire au champ magnétique imposé. Cette perturbation va se propager le long des lignes du champ magnétique imposé, c’est-à-dire le long de l’axe du cylindre. Des bobines électromagnétiques disposées le long du cylindre et au-dessus mesurent les variations temporelles de flux magnétique (champ magnétique x la surface de la bobine) qui va varier lors du passage de l’onde.

En effet, on mesure bien l’arrivée de l’onde comme cela est montrée sur la figure 3. On observe que lorsque le champ magnétique imposé est fort l’onde arrive plus tôt en haut que lorsqu’il est faible conformément à la prédiction de la vitesse des ondes d’Alfvén proportionnel au champ magnétique.

figure 3 : Flux magnétique mesuré sur la bobine supérieure en fonction du temps (ms). Un impulsion de courant est produite sur la bobine inférieure à t=0 (en noir). Chaque courbe (couleur) correspond à une expérience pour un champ magnétique imposé différent.

Une manière de voir si l’observation est cohérente avec la théorie est de diviser le temps d’arrivée par le temps théorique d’arrivée $L/V_A$ . On dit qu’on adimensione le temps. Ceci est fait en figure 4. Nous avons bien observé des ondes d’Alfvén.

figure 4 : Flux magnétique mesuré sur la bobine supérieure en fonction du temps adimensionné par le temps de vol de l’onde $L/V_A$ .

On peut noter la croissance de l’amplitude de la force électromagnétique mesurée avec le champ magnétique imposé. Cela correspond à l’augmentation du nombre de Lundquist qui varie quasiment d’un facteur 2 entre les expériences. C’est l’effet de la diffusion magnétique qui étale le paquet d’onde. Le temps de diffusion est donc relativement plus faible pour les champs magnétiques intenses par rapport au temps de propagation.

Ces résultats ont été publiés en 2011 dans Physics of Fluids par T. Alboussiere, P. Cardin, F. Debray, P. La Rizza, J.-P. Masson, F. Plunian, A. Ribeiro, D. Schmitt, sous le titre Experimental evidence of Alfvén wave propagation in a Gallium alloy. [2]. De nouvelles expériences au LCMI avec du sodium liquide sont en cours pour essayer d’observer des effets non linéaires sur les ondes d’Alfvén.

Variables d’Elsasser

Il est intéressant d’introduire les variables d’Elsasser pour décrire les ondes d’Alfvén. Ces variables combinent le champ magnétique et le champ de vitesse.

$h_\pm = u \pm b/\sqrt{\mu_0\rho}$

Ces variables n’ont pas de sens physique mais elles permettent d’ écrire les équations de manière simple. On peut réécrire les equations et u et B en h de la façon suivante.

$\partial_t h_\pm \, \mp V_a \partial_x h_\pm - \frac{\eta+\nu}{2} \partial_{xx} h_\pm = \frac{\nu-\eta}{2} \partial_{xx} h_\mp$

Dans le cas idéal (diffusivités nulles), elles s’écrivent

$\partial_t h_+ = + V_a \partial_x h_+$

$\partial_t h_- = - V_a \partial_x h_-$

Ces équations nous montrent que la variable $h_+$ se propage dans le sens du champ magnétique imposé alors que la variable $h_-$ se propage dans l’autre sens. On voit donc que le champ magnétique et le champ de vitesses sont intimement liés ; de même signe dans un sens de propagation et de signe opposé dans l’autre sens. Dans les deux cas, l’énergie cinétique et l’énergie magnétique sont égales. On dit qu’il y a équipartition de l’énergie.

Réflexions des ondes d’Alfvén

Lors d’une réflexion d’une onde d’ Alfvén sur une paroi, elle change de sens de propagation. Les variables d’Elsasser doivent donc s’échanger. Dans le cas idéal, les variables sont séparées et seule la condition aux limites va pouvoir coupler les variables d’Elsasser. Dans le cas diffusif, on voit que le couplage existe que si $\nu \ne \eta$ , c’est-a dire si $Pm \ne 1$ .

Dans le cas 1D, une paroi isolante d’un point de vue électrique s’écrit $b=0$ alors que la condition de conducteur parfait s’écrit $\partial_x b =0$ .

De même, pour le champ de vitesses, la condition de surface rigide s’écrit $u=0$ alors que la condition de surface libre s’écrirait $\partial_x u =0$ .

Dans le cas d’une paroi isolante rigide, nous voyons que la condition limite s’écrit $u=b=h_+=h_-=0$ . Les variables d’Elsasser ne sont pas couplées par la condition au limite. Si de plus, $Pm = 1$ , nous voyons que les ondes d’Alfvén ne peuvent pas se réfléchir. Les ondes vont donc se dissiper à proximité de la paroi, dans une couche limite visco-magnétique dite de Hartman. Le coeficient de réflexion R (rapport de l’amplitude de l’onde incidente sur l’onde réfléchie) mesure la qualité de la réflexion. En suivant ce même type de raisonnement on trouve :

$R$ at $Pm=1$	surface rigide $u=0$	surface libre $\partial_x u =0$
isolant $b = 0$	0	1
conducteur parfait $\partial_x b =0$	1	0

Considérons maintenant le cas des métaux liquides qui ont des faibles viscosités $Pm\ll1$ . Une viscosité nulle fait que le champ de vitesse n’a pas de condition limite à la paroi et la condition isolante b=0 s’écrit donc $h_+=h_-$ , ce qui couple les deux variables d’Elsasser. Nous en déduisons que le coefficient de réflexion est donc de 1.

Dans le cas 1D, on peut écrire analytiquement ces ondes d’Alfvén. On a pu montrer dans [3] que le coeficient de réflexion s’écrit :

$R = \frac{1 - \sqrt{Pm}}{1 + \sqrt{Pm}}$

Propagation numérique des ondes d’Alfvén 1D

Nous avons résolu numériquement les équations de champ magnétique et de vitesse dans un espace compris entre x=0 et x=1. Aux deux extrémités de l’espace nous avons fait varier les conditions aux limites pour étudier le coefficient de reflexion R.

Tous d’abord considérons le cas surface rigide et conducteur parfait, où le coeficient de réflexion est de 1. Le film (vidéo postée sur you tube) ci-dessous montre la propagation de l’onde pour $Pm = 1$ et $Lu=10^{4}$ .

Movie 1 : Reflexion of Alfvén waves on a rigid and perfectly conducting boundary for $Pm = 1$ et $Lu=10^{4}$

La ligne bleue correspond à l’amplitude du champ magnétique (adimensionné) alors que la ligne rouge correspond à l’amplitude du champ de vitesse (adimensionné). Au temps t=0, on introduit une perturbation (gaussienne) en champ magnétique au centre de la boite. Cette perturbation engendre deux ondes se propageant en sens inverse. L’onde voyageant dans la direction du champ magnétique $h_+$ présente un champ de vitesse et un champ magnétique de même signe. A la réflexion, le champ de vitesse change de signe pour permettre à l’onde de voyager dans l’autre sens. Du coup, l’énergie cinétique de l’onde est réduite et l’énergie est transférée en énergie magnétique (croissance de l’amplitude).

L’amplitude décroit légèrement au cours du temps. C’est l’effet diffusif qui diminue l’amplitude de l’onde comme l’indique le nombre de Lundquist qui est de 10000, ce qui n’est pas infiniment grand.

lors que les ondes réfléchies se croisent au centre de la boite, nous retrouvons la pertubation initiale, qui peut donc être vue comme la superposition de deux ondes de telles manière à ce que le champ de vitesse soit nul.

Regardons maintenant ce qui se passe en présence d’un mur isolant. (toujours en conditions de surface rigide) Pour $Pm = 10^{-1}$ et $Lu=10^{4}$

Movie 2 : Reflexion of Alfvén waves on a rigid insulating boundary for $Pm = 0.1$ et $Lu=10^{4}$

Nous pouvons observer que lors de la réflexion, l’amplitude de l’onde est fortement diminuée, de l’ordre de la moitié de son amplitude. Ce qui est bien plus que la décroissance du à la diffusion. En mesurant précisément l’amplitude de l’onde avant et après la réflexion, nous pouvons évaluer le coefficient de réflexion comme cela est reporté à la figure 5.

On observe que pour Pm=0.1, c’est le champ magnétique qui change de signe à la réflexion sur la paroi.

Pour $Pm = 1$ et $Lu=10^{4}$ , on s’attend à un coefficient de réflexion nul.

Movie 3 : No- reflexion of Alfvén waves on a rigid insulating boundary for $Pm = 1$ et $Lu=10^{4}$

Toute l’énergie de l’onde est dissipée dans une couche visco-magnétique, connue sous le nom de couche de Hartman d’épaisseur $\delta \equiv \sqrt{\nu\eta}/V_a$

Dans le cas $Pm = 10$ et $Lu=10^{4}$ , nous avons :

Movie 4 : Reflexion of Alfvén waves on a rigid insulating boundary for $Pm = 10$ et $Lu=10^{4}$

Cette fois pour Pm>1, c’est le champ de vitesse qui s’inverse. Son coeficient de reflexion est donc négatif.

A l’aide ces simulations, nous pouvons calculer le coefficient de réflexion pour différents rapport de diffusivités Pm.

figure 5 : Coefficient de réflexion du champ de vitesse lors de la réflexion d’une onde d’Alfvén sur une paroi rigide et isolante.

Les résultats numériques sont parfaitement en accord avec la prédiction analytique. Dans certaines situations (autour de Pm=1) les ondes d’Alfvén sont absorbées dans la couche limite à proximité de la paroi rigide et isolante. Notons qu’à Pm=1, la réflexion est nulle et ceci quelques soient la diffusivité magnétique et la viscosité cinématique du fluide ( pourvu qu’elles soient égales !)

Propagation numérique des ondes d’Alfvén dans une sphère

Propagation numérique des ondes d’Alfvén dans une sphère en rotation rapide

[1] Alfvén, H., Existence of Electromagnetic-Hydrodynamic waves. Nature 150, 1942.

[2] T. Alboussiere, P. Cardin, F. Debray, P. La Rizza, J.-P. Masson, F. Plunian, A. Ribeiro, D. Schmitt, Experimental evidence of Alfvén wave propagation in a Gallium alloy. Physics of Fluids, sous presse, 2011. online hal version

[3] N.Schaeffer, D.Jault, P. Cardin and M. Drouard , On the reflection of Alfvén waves and its implication for Earth’s core modeling soumis à JGI, 2011. online hal version

Dans la même rubrique :

Menu